高精度高斯投影正反算公式及其應(yīng)用

摘要：現(xiàn)代工程測(cè)量的發(fā)展具有高精度、大跨度的顯著特點(diǎn)，其平差慣用的數(shù)學(xué)面多為高斯平面，目前高斯投影計(jì)算公式的近似表達(dá)式的精度已不能滿足現(xiàn)代精密工程控制網(wǎng)整體平差的需求。本文通過增加高斯投影正算高階項(xiàng)系數(shù)和改進(jìn)高斯投影反算的迭代方法，提高投影精度，擴(kuò)展了投影帶寬度。
關(guān)鍵詞：高斯投影；大地坐標(biāo)；高斯平面坐標(biāo)；牛頓迭代法
　　一、引言
　　高斯投影是正形投影的一種，具有投影長(zhǎng)度比與方向無關(guān)，投影前后角度不變等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各種工程項(xiàng)目中。地球橢球面是一個(gè)不可展曲面，而地圖是一個(gè)無裂縫無重疊的平面，高斯投影采用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法將地球橢球面轉(zhuǎn)換到地圖平面，但由于展開式為無窮級(jí)數(shù)，且高次項(xiàng)系數(shù)極為復(fù)雜，所以現(xiàn)在一般選取低次項(xiàng)系數(shù)做近似替換。為了克服投影變形，通常采取分帶投影的方法，我國(guó)規(guī)定按經(jīng)差6°和3°進(jìn)行投影分帶[1]。隨著工程項(xiàng)目跨度逐步增大，東西跨度早已超過6°帶的投影范圍，這就意味著需要新的方法來實(shí)現(xiàn)大跨度高精度的高斯投影。
　　本文根據(jù)高斯投影的一般原理，將投影正算公式展開至第9項(xiàng)。同時(shí)，對(duì)于高斯投影反算，現(xiàn)在多采用迭代的方法先求得底點(diǎn)緯度Bf，再將Bf代入反算公式求得大地經(jīng)緯度[2]。由于反算公式高階項(xiàng)系數(shù)推導(dǎo)困難，反算精度受限。本文根據(jù)多元非線性函數(shù)的牛頓迭代算法[3]，推導(dǎo)出了由高斯平面坐標(biāo)(x、y)直接迭代求得大地坐標(biāo)(B、L)的迭代公式，有效的避開了反算公式高階項(xiàng)系數(shù)缺失的問題。本文分別以12°、24°為帶寬，計(jì)算分析投影精度。結(jié)果表明，投影精度有較大提高，投影帶寬度得到相應(yīng)的擴(kuò)展。
　　二、高斯投影坐標(biāo)正算
　　高斯投影正算是已知大地坐標(biāo)（B，L），求高斯平面坐標(biāo)（x，y）。高斯投影正算公式為
                  (1)
式中，x、y為高斯平面坐標(biāo)，x0為子午線弧長(zhǎng)，l為經(jīng)差， ( )是緯度的函數(shù)。計(jì)算公式為
   (2)
          (3)
    (4)
式中，  為橢球長(zhǎng)半徑， 為第一偏心率， 為第二偏心率， 為該投影帶中央子午線經(jīng)度， 為大地緯度， 為投影點(diǎn)到 的大地經(jīng)度差， ，以弧度為單位。 ， ， 。
　　三、高斯投影坐標(biāo)反算的牛頓迭代算法
　　高斯投影坐標(biāo)反算是已知投影帶中央子午線經(jīng)度和高斯平面坐標(biāo)(x，y)，反解大地經(jīng)緯度(B，L)。傳統(tǒng)反算方法為先迭代算出底點(diǎn)緯度Bf，然后代入反算公式，進(jìn)而求得大地坐標(biāo)(B，L)[4-6]。雖然運(yùn)用了迭代的思想，可是仍然受到反算公式高次項(xiàng)缺失的制約，導(dǎo)致反算的精度不理想。本文采用多元非線性牛頓迭代法，無需解算底點(diǎn)緯度Bf，直接由高斯平面坐標(biāo)(x，y)迭代算出大地坐標(biāo)(B，L)。若計(jì)算機(jī)性能許可，可以達(dá)到任意精度。
由(1)式得
             (5)
令
                             (6)
則
                       (7)
得如下迭代格式：
 (8)
當(dāng)同時(shí)滿足
                                (9)
時(shí)終止迭代。其中 根據(jù)具體要求而定。
　　四、精度分析
根據(jù)以上所推公式，用C#語言編寫12°、24°帶高斯投影正反算程序（ 取1×10-16）。在緯度為45°處取點(diǎn)，其大地坐標(biāo)為（B0,L0）。首先將該點(diǎn)歸算到高斯投影平面上，求得它的高斯平面坐標(biāo)，再用迭代反算求得該點(diǎn)的大地坐標(biāo)（B1,L1）。（B0,L0）與（B1,L1）相減，即可得到投影誤差（△B,△L）。其結(jié)果見表1和表2。
表1 采用12°帶高斯投影坐標(biāo)正反算結(jié)果對(duì)照表
B（°′″） L（°′″）
 
45 00 00 
11 59 00
 
45 00 
 
11 59 

 
0 00 
 
0 00   
　　由以上結(jié)果可知，當(dāng)帶寬為12°時(shí)，投影帶邊沿投影精度可達(dá)4×10-9s。當(dāng)帶寬擴(kuò)展為24°時(shí)，在投影帶邊沿投影精度達(dá)1×10-6s。
五、結(jié)束語
　　本文將高斯投影正算公式展開至第9項(xiàng)，同時(shí)采用多元非線性函數(shù)的牛頓迭代法進(jìn)行投影反算。通過實(shí)驗(yàn)分析可知，采用該方法進(jìn)行投影計(jì)算，在24°投影帶的邊沿處，正反算經(jīng)緯度差值小于0.000001s，投影精度較高。
　　目前我國(guó)正在修建的以高速鐵路為代表的大型工程對(duì)測(cè)量的精度要求很高，所采用的高斯投影獨(dú)立坐標(biāo)系每個(gè)投影帶可控制范圍很小，給施工測(cè)量帶來很多不便。通過本文所述的方法進(jìn)行投影計(jì)算，能在很大程度上拓寬每個(gè)投影帶的投影寬度，對(duì)這種大跨度、高精度的工程項(xiàng)目的投影計(jì)算有一定的借鑒意義。
參考文獻(xiàn)：
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[4] 楊建華，楊志強(qiáng)，王騰軍.高斯投影反算中求地點(diǎn)緯度值的牛頓迭代法[J].西安科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25（1）：57-59.