積分概念教學(xué)中的若干思考

一、引言

高等數(shù)學(xué)是理、工科專業(yè)學(xué)生一門重要的基礎(chǔ)課程，也是很多其他專業(yè)的必修課。高等數(shù)學(xué)一向以其高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性著稱，高等數(shù)學(xué)主要的研究對象是變量，相對于研究常量和勻變量的初等數(shù)學(xué)來說，高等數(shù)學(xué)的難度大大提升了，其中尤其以一些全新概念的出現(xiàn)讓學(xué)生感覺困難重重。

數(shù)學(xué)概念是指數(shù)學(xué)符號代表的、經(jīng)過抽象概括的具有共同屬性的數(shù)學(xué)對象、關(guān)系和性質(zhì)。由于數(shù)學(xué)概念是抽象思維的產(chǎn)物，所以它具有辯證性、客觀性、合理性等特點；同時數(shù)學(xué)概念也具有抽象和具體的雙重性，數(shù)學(xué)概念相互之間也具有邏輯聯(lián)系性。而且高等數(shù)學(xué)的概念基本上都是以運動的面貌出現(xiàn)的，是動態(tài)的產(chǎn)物。高等數(shù)學(xué)中的概念有很多，例如極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等，這其中的很多概念都是貫穿于整個學(xué)習(xí)過程的，其中積分的概念更是貫穿始終，從一元函數(shù)的不定積分到定積分，再到多元函數(shù)的二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分，積分的概念和思想在整個高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占了很大的比例。在積分概念的講解中應(yīng)該采取什么樣的方式和手段才能更好地建立概念之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地掌握這個重要的內(nèi)容是本文主要的研究內(nèi)容。

二、積分概念講解中應(yīng)該注意的問題和采取的方法

積分概念的教學(xué)要注重建立積分概念的過程，我認(rèn)為在積分概念的教學(xué)過程中應(yīng)該注意以下幾個問題：

（一）講好積分概念的實際背景

高等數(shù)學(xué)中的很多概念都是為解決實際問題而產(chǎn)生和發(fā)展起來的，有著良好的物理背景或幾何背景，所以在概念引入時利用這些資源，就可以更好地引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生在實際問題中理解并掌握概念，進(jìn)而能夠用所學(xué)習(xí)的概念解決新的問題。

積分是高等數(shù)學(xué)中一個重要的概念，是教學(xué)的重點，也是難點。定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實際問題?，F(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材中一般有兩個實際背景，一個是曲邊梯形的面積，一個是變速直線運動的路程。進(jìn)行積分概念的教學(xué)時，我們需要學(xué)生在已知曲線方程的情況下，設(shè)法求出以此曲線為一條曲邊的某個曲邊梯形的面積。面對這樣一個問題，我一般首先引導(dǎo)學(xué)生和以往學(xué)習(xí)過的面積問題建立聯(lián)系，將已有的知識體系和新的內(nèi)容鏈接起來。學(xué)生們都知道規(guī)則圖形的面積的獲得方式，面對復(fù)雜圖形，他們也能夠想到用切割的方式來將曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積和。這里我們會遇到第一個困難，那就是即使對曲邊梯形采取切割手段也不能夠把它全部轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，因此需要引導(dǎo)學(xué)生利用微分的幾何意義考慮小范圍的“以直代曲”。在對曲邊梯形分割之后，在小范圍內(nèi)將小曲邊梯形近似看做小矩形，這個過程中使用了高等數(shù)學(xué)中一個常見的處理問題的方式—近似代替，這個方法在引出導(dǎo)數(shù)的概念時曾經(jīng)用過，為了獲得瞬時速度通常會取一較小的時間段，求出在一個較小時間段內(nèi)的平均速度，用平均速度作為瞬時速度的近似值。這個方法在積分概念的講解中再次出現(xiàn)，也給了同學(xué)們啟示，和導(dǎo)數(shù)概念中類似，獲得近似值后，分析當(dāng)分割越來越細(xì)會有什么樣的效果，使學(xué)生自己意識到通過對分割出的各個小曲邊梯形的近似面積和取極限可以得到曲邊梯形面積的精確值。同理，我們引導(dǎo)學(xué)生求出變速直線運動的路程。然后總結(jié)一下這兩個不同的實際問題，會發(fā)現(xiàn)他們有很多的共同特點，對這些共同特點加以抽象定積分的概念便水到渠成。這樣的處理過程降低了概念講解的難度，同時也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)建模的一般過程，有助于學(xué)生分析問題和解決問題能力的提升。

（二）數(shù)形結(jié)合，建立積分概念的幾何意義和物理意義    

盡管抽象性是數(shù)學(xué)概念的突出特點，但是直觀性在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中也占有重要地位。在日常的教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)直觀力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，因為直觀有助于概念的理解和掌握。介紹了定積分的概念之后，為了避免學(xué)生把定積分的定義僅停留于機(jī)械記憶上，需引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)使用的曲邊梯形的面積這個實例，由易到難逐步尋找到定積分的幾何意義，幫助學(xué)生理解概念，讓學(xué)生能夠從直觀上把握定積分所表達(dá)的內(nèi)容。在老師的引導(dǎo)下學(xué)生完全可以將變速直線運動的路程也用幾何的方式進(jìn)行表達(dá)，學(xué)生把定積分的幾何意義理解清楚了才能夠進(jìn)行知識遷移進(jìn)而用這樣的方法去理解二重積分的幾何意義。對于幾何意義不好展示的三重積分和曲線曲面積分，可以考慮使用物理意義幫助學(xué)生理解概念。

（三）把握積分概念的本質(zhì)

由以上的討論可以看出，借助于直觀的幾何意義，能很好地幫助學(xué)生促進(jìn)概念由抽象到具體的轉(zhuǎn)化。但是，想要正確而全面地理解和掌握概念，我們就一定要透過概念的形式揭示出積分概念的內(nèi)在本質(zhì)，從而使其成為非常透明的東西，這樣也有助于學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中很好地進(jìn)行知識遷移。就定積分概念而言，我們在教學(xué)中必須適時引導(dǎo)學(xué)生跳出狹義的圈子，使學(xué)生認(rèn)識到，定積分與真實現(xiàn)象之間有著一般和特殊的關(guān)系，作為抽象思維的產(chǎn)物的定積分具有普遍的意義，它所反映的不是某一種特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同特征。除了曲邊梯形的面積，變速直線的路程以外，它還可以表示曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力對物體做的功等，事實上，定積分的本質(zhì)就是無限細(xì)分和無限求和，它實際上表達(dá)的是一個乘積。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生再遇到和乘積有關(guān)的量，如果不是均勻變化的，定積分都有類似的意義。理解了這一點學(xué)生在后面學(xué)習(xí)定積分的應(yīng)用中就能更好地理解和運用相關(guān)的方法，也能夠更深刻地體會二重積分，三重積分以及曲線曲面積分的定義。理解了積分的本質(zhì)，學(xué)生就能理解為什么二重積分、曲線曲面積分也可以用類似定積分的過程來解決。

（四）注重積分概念體系的建立

數(shù)學(xué)中的概念始終是高校教師授課的難點，往往讓學(xué)生感覺枯燥，難懂。但是概念不是孤立的，在實際教學(xué)工作中幫助學(xué)生理清概念之間的聯(lián)系，既可以達(dá)到更好地理解新概念的目標(biāo)，同時也有助于建立整個概念體系。筆者認(rèn)為一個概念體系的建立對于學(xué)生把握所學(xué)課程有著至關(guān)重要的意義。從定積分到重積分、曲線積分、曲面積分，這些積分概念本質(zhì)上有很多類似的地方，教學(xué)過程中教師可以前后聯(lián)系，將整個積分概念當(dāng)做一個完整體系進(jìn)行介紹，這樣對重積分、曲線積分、曲面積分的概念講解難度就會下降，學(xué)生在學(xué)習(xí)中需重點把握這些積分概念中的不同之處。通?？梢允褂妙惐鹊姆椒ń⒏拍铋g的聯(lián)系、異同。依靠類比與聯(lián)想，可以幫助學(xué)生從二維空間進(jìn)入三維空間直至更高維空間，從有形進(jìn)入無形，從現(xiàn)實世界進(jìn)入虛擬世界。

（五）將積分概念的發(fā)展史融入概念的講解中

在目前的高等數(shù)學(xué)教材中，微分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是在積分內(nèi)容之前的。但實際上在歷史發(fā)展的過程中，積分思想的出現(xiàn)可以追溯到公元前5世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)，積分思想的起源要遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于微分思想?，F(xiàn)代研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生主體主動利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)去構(gòu)建的過程，在這個建構(gòu)過程中，應(yīng)深入到概念形成過程的內(nèi)部，對數(shù)學(xué)概念本身獨有的基本發(fā)展特征做細(xì)致的認(rèn)知分析。因此在定積分概念的教學(xué)中可以借助數(shù)學(xué)史來設(shè)計定積分的概念教學(xué)。教學(xué)開始之前可以介紹微積分的發(fā)展史，著重介紹積分思想的發(fā)展過程，通過這個工作可以讓學(xué)生對積分概念的形成歷史有一個清晰的認(rèn)識。再根據(jù)老師設(shè)置的相關(guān)實際問題讓學(xué)生逐步把握積分的思想本質(zhì)，接下來基于這個構(gòu)建過程就可以水到渠成地抽象概括出定積分的概念。整個教學(xué)過程形象而具體，能夠很好地加深學(xué)生對積分概念的理解。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一個動態(tài)過程，也是一種創(chuàng)造性活動。在積分教學(xué)的過程中，教師要多思考，善于利用各種方式和手段揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對概念的理解，建立完整的概念體系，幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念。

本文來源：《魅力中國》：http://xwlcp.cn/w/wy/25805.html